12α. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

Όταν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ και δ, τότε μπορούμε να βρούμε









δύο άλλους μοναδικούς φυσικούς αριθμούς π και υ,
έτσι ώστε να ισχύει :

Ο πρώτος αριθμός αριστερά λέγεται Διαιρετέος (Δ)

Ο δεύτερος αριθμός δεξιά  ονομάζεται διαιρέτης (δ).

Το αποτέλεσμα που βρίσκουμε λέγεται πηλίκο (π)

Αυτό που περισσεύει (αν υπάρχει) λέγεται υπόλοιπο (υ)

Το υπόλοιπο είναι αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός και πάντα μικρότερος από τον διαιρέτη  !!!

Για να επαληθεύσουμε τη διαίρεση

• πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με το πηλίκο 

και 

• προσθέτουμε το υπόλοιπο (αν υπάρχει).

Η διαίρεση της μορφής Δ = δ x π +υ 
λέγεται Ευκλείδεια Διαίρεση.

 

Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια 
(~ 300 π.Χ. - 270 π.Χ.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ (323 π.Χ. - 283 π.Χ.).
 Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας.

Βασική προϋπόθεση για να εκτελέσουμε σωστά την πράξη της διαίρεσης είναι
να γνωρίζουμε άριστα την προπαίδεια !!!

Έχοντας αυτό υπόψη, ας θυμηθούμαι πώς γίνεται η πράξη αυτή...

 Δύο ψηφία έχει ο διαιρέτης, δύο τονίζουμε στα αριστερά του  Διαιρετέου και λέμε 

το 23 στο 34 χωράει 1 φορά . 

• Γράφουμε το 1 στο πηλίκο και 
• κάνουμε πολλαπλασιασμό 
• γράφουμε  το γινόμενο κάτω από τα τονισμένα ψηφία 
• και κάνουμε αφαίρεση.  

Τονίζουμε το επόμενο ψηφίο και το κατεβάζουμε  δίπλα στο υπόλοιπο μας. Και λέμε 

το 23 στο 117 χωράει 5  φορές  

(όσες το 2 (δεκ) στο 11 (δεκ)) . 

• Γράφουμε το 5 στο πηλίκο και κάνουμε πολλαπλασιασμό. 
• Το γινόμενο το γράφουμε κάτω από τον αριθμό μας (υπόλοιπο αφαίρεσης) 
• και κάνουμε αφαίρεση. 

Συνεχίζουμε έτσι μέχρι να τελειώσουν όλα τα ψηφία του διαιρετέου.

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ : 

Για να την κάνουμε,

• πολλαπλασιάζουμε 

το πηλίκο (151) με τον διαιρέτη (23)

• και προσθέτουμε το υπόλοιπο  (03). 

Το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ο Διαιρετέος ( 3.476 ).

Ας δούμε τώρα και μια ακόμη διαίρεση με διψήφιο διαιρέτη....

Δύο ψηφία έχει ο διαιρέτης , δύο τονίζουμε και στα αριστερά του Διαιρετέου  και λέμε :

Το 52 στο 39 δεν χωράει, 

                       άρα ,

τονίζουμε και το τρίτο στη σειρά ψηφίο του Δ               

 και λέμε, 

     πόσο χωράει το 52 στο 395;

Μπορεί να φαίνεται με μια πρώτη ματιά δύσκολο, αλλά κάνουμε ένα μικρό κολπάκι αφαιρώντας τα τελευταία ψηφία από Δ και δ και λέμε: 

« Πόσες φορές  χωράει το 5 στο 39;   χωράει 7 φορές  ( 5  x 7 = 35 )»

• Γράφουμε το 7 στη θέση του πηλίκου. 
• Πολλαπλασιάζουμε το 7 του πηλίκου με το 52  του διαιρέτη
• Κάνουμε  την αφαίρεση  

Κατεβάζουμε και το τελευταίο ψηφίο του Δ, δηλαδή το 6 

και λέμε: 

        Πόσες φορές χωράει το 52 στο 315;

•  Κατά τον ίδιο τρόπο σκεφτόμαστε ότι το 5 στο 31 χωράει 6 φορές (5 x 6 = 30 ), οπότε γράφουμε στο πηλίκο δίπλα στο 7 το 6.
• Πολλαπλασιάζουμε το 6 με το 52
• Κάνουμε  την αφαίρεση 

Η διαίρεση μας τελείωσε. Το αποτέλεσμα είναι: πηλίκο 76 και υπόλοιπο 4.